Question

【題目】已知，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，M為DE的中點，聯結BE．

(1)如圖1，當點A、D、E在同一直線上，聯結CM，求證：CM＝；

(2)如圖2，當點D在邊AB上時，聯結BM，求證：BM2＝()2+()2．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）先證明△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質得出，AD＝BE，得出AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE，根據直角三角形斜邊上的中線性質求出CM＝DE，即可得出結論；

（2）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，∠DAC＝∠EBC＝45°，得出∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，由勾股定理得出DE2＝BE2+BD2，由直角三角形斜邊上的中線性質得出DE＝2BM，即可得出結論．

(1)∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，

∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠DCB，∠BAC＝∠ABC＝45°，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，

∴AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE，

∵M為DE的中點，∠DCE＝90°，

∴CM＝ (AE﹣AD)＝；

(2)同(1)得：△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，

∴DE2＝BE2+BD2，

∵M為DE的中點，

∴DE＝2BM，

∴4BM2＝BE2+BD2＝AD2+BD2，

∴BM2＝．