Question

【題目】幾何證明:

（1）已知：如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交．求證：FG＝（AB+BC+AC）．

（2）若BD、CE分別是△ABC的內角平分線，其余條件不變（如圖1），線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段FG與△ABC三邊的數量關系是FG＝（AB+AC﹣BC），理由見解析

【解析】

（1）利用全等三角形的判定定理ASA證得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的對應邊相等進一步推出MB＝AB，AF＝MF，同理CN＝AC，AG＝NG，由此可以證明FG為△AMN的中位線，然后利用中位線定理求得FG＝（AB+BC+AC）；（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案．

（1）如圖1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，

∴∠BAF＝∠BMF，

在△ABF和△MBF中，

∵，

∴△ABF≌△MBF（ASA）

∴MB＝AB

∴AF＝MF，

同理：CN＝AC，AG＝NG，

∴FG是△AMN的中位線

∴FG＝MN，

＝（MB+BC+CN），

＝（AB+BC+AC）．

（2）圖2中，FG＝（AB+AC﹣BC）

理由如下：如圖2，

延長AG、AF，與直線BC相交于M、N，

∵由（1）中證明過程類似證△ABF≌△NBF，

∴NB＝AB，AF＝NF，

同理CM＝AC，AG＝MG

∴FG＝MN，

∴MN＝2FG，

∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，

∴FG＝（AB+AC﹣BC），

答：線段FG與△ABC三邊的數量關系是FG＝（AB+AC﹣BC）．