Question

已知函數y1=ax2+a2x+2b-a3，當-2＜x＜6時，y₁＞0，而當x＜-2或x＞6時，y₁＜0．
（1）求實數a，b的值及函數y1=ax2+a2x+2b-a3的表達式；
（2）設函數y2=-

k

4

y1+4(k+1)x+2(6k-1)，k取何值時，函數y₂的值恒為負？

Answer 1

分析：（1）由題意可知：-2和6為方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩根，則把兩根代入到方程中求出a，b并得到函數解析式即可；
（2）把y₁=-4x²+16x+48代入到y₂=-

k

4

y₁+4（k+1）x+2（6k-1）中得到y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．因為函數y₂的值恒為負數，所以得到二次項系數小于0且根的判別式△＜0，由以上兩個條件組成不等式組，求出解集即可．

解答：解：（1）由題意得方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩根為x₁=-2，x₂=6，
由

x1+x2=- a2 a x1•x2= 2b-a3 a

，
解得a=-4，b=-8，
代入得函數表達式為y₁=-4x²+16x+48；

（2）由（1）得y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
若函數值恒為負，
則此二次函數為開口向下與x軸無交點，
所以有

k＜0 △=42-4•k•(-2)＜0

，
解的k＜-2，
所以k＜-2時，函數y₂的值恒為負．

點評：本題考查了二次函數知識與方程知識的有機結合．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用函數圖象的有關性質，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．