Question

【題目】已知，拋物線y=ax+bx+4與x軸交于點A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點D為CB的中點，將線段DB繞點D旋轉，點B的對應點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點G的坐標；
（3）如圖2，若點D為直線BC或直線AC上的一點，E為x軸上一動點，拋物線
對稱軸上是否存在點F，使以B，D，F，E為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

由A（-3，0）和B（2，0），得：

即 = ax+bx+4

∴

∴

∴ .

（2）

易得C（0,4），則BC= .

由 可對稱軸為x= ,

則可設點G的坐標為 ，

∵點D是BC的中點

∴點D的坐標為 ，

由旋轉可得，DG=DB

∴ ……………

∴ ………

∴點G的坐標為 或

（3）

①當BE為對角線時，因為菱形的對角線互相垂直平分，所以此時D即為對稱軸與AC的交點或對稱軸對BC的交點，F為點D關于x軸的對稱點，

設 ，

∵C ，A ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴當 時， ，

∴D ，

∴F ；

易得

∴當 時，y=5，

∴D ，

∴F ；

②當BE為菱形的邊時，有DF∥BE

I)當點D在直線BC上時

設D ，則點F

∵四邊形BDFE是菱形

∴FD=DB

根據勾股定理得，

整理得： =0，

解得： ，

∴F 或

II）當點D在直線AC上時

設D ，則點F

∵四邊形BFDE是菱形，

∴FD=FB，

根據勾股定理得，

整理得： ，

解得： (舍去)，

∴F ，

綜上所述，點F的坐標分別為： ， ， ，

， .

【解析】（1）可將三個點的分別代入拋物線可解出；或都運用兩點式簡便求解；（2）由旋轉可得DG=DB，因為D是BC中點，所以DB= BC，求DB的長，和D的坐標，因為G在對稱軸上的點，則橫坐標為 ，由勾股定理構造方程，解出G的縱坐標；（3）分類討論：BE在x軸上，所以當BE為對角線上時，則FD也為對角線，它們互相平分且垂直，而點F在對稱軸上，D也在對稱軸上，所以點D與F關于x軸對稱，則點D為AC與對稱軸的交點，BC與對稱軸的交點，求出點D即可；當BE為邊時，根據對邊平行可得必有DF//BE，則D，F的縱坐標相等，則當點D在BC上時，可設點D的坐標，從而可得點F的坐標由FD=DB，構造方程解得D的坐標，F的坐標;當點D在AC上時，同理.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．