Question

【題目】問題背景
如圖1，在正方形ABCD的內部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形。
類比研究
如圖2，在正△ABC的內部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F三點（D，E，F三點不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；
（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；
（3）進一步探究發現，△ABD的三邊存在一定的等量關系，設 ， ， ，請探索 ， ， 滿足的等量關系。

Answer 1

【答案】
（1）

△ABD≌△BCE≌△CAF.

證明： ∵正△ABC中,

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,

∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,又∠2=∠3

∴∠ABD=∠BCE,

又∵∠1=∠2，

∴△ABD≌△BCE（ASA）.

（2）

△DEF是正三角形.

證明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,

∴△DEF是正三角形.

（3）

解：作AG⊥BD，交BD延長線于點G.

由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）

∴在Rt△ADG中，DG=b,AG=b.

∴在Rt△ABG中，c2=+,

∴c2=a2+ab+b2

【解析】（1）由正△AB得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,再通過等量代換得出∠1=∠2，從而得出△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）由（1）中△ABD≌△BCE≌△CAF，得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,∠FDE=∠DEF=∠EFD,從而得出△DEF是正三角形.
（3）作AG⊥BD，交BD延長線于點G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）從而在Rt△ADG中，
DG=b,AG=b；在Rt△ABG中，c2=+,最后得出c2=a2+ab+b2
【考點精析】通過靈活運用含30度角的直角三角形和勾股定理的概念，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．