Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A₁是以原點O為圓心，半徑為2的圓與過點（0，1）且平行于x軸的直線l₁的一個交點；點A₂是以原點O為圓心，半徑為3的圓與過點（0，2）且平行于x軸的直線l₂的一個交點；點A₃是以原點O為圓心，半徑為4的圓與過點（0，3）且平行于x軸的直線l₃的一個交點；點A₄是以原點O為圓心，半徑為5的圓與過點（0，4）且平行于x軸的直線l₄的一個交點
（1）分別求出A₁、A₂、A₃、A₄四點的坐標；
（2）按照這樣的規律進行下去，猜想、歸納點A_n的坐標為

 

；
（3）A₁、A₂、A₃、A₄四點在同一條直線上嗎？如果在，求出該直線的解析式，如果不在，試判斷這四個點所在的函數圖象，并證明你的結論．

Answer 1

分析：在（1）中，可連接OA₁，OA₂，OA₃，
在直角三角形OA₁M中，可得出A₁B=

22-1

=

3

，因此A₁（

3

，1）；
在直角三角形OA₂N中，可得出A₂C=

32-22

=

5

，因此A₂（

5

，2）；
在直角三角形OA₃Q中，可得出A₃D=

42-32

=

7

，因此A₃（

7

，3）；
…
（2）根據（1）題，易求出A_n（

(n+1)2-n2

，n），即A_n（

2n+1

，n）；
（3）題已知了A_n的橫坐標和縱坐標的表達式，可聯立兩個含n的表達式，消去n后即可得出四點所在函數的解析式．

解答：解：（1）A₁（

3

，1）、A₂（

5

，2）、A₃（

7

，3）、A₄（3，4）；

（2）A_n（

2n+1

，n）；

（3）不在同一條直線上，四點在拋物線上
令

x= 2n+1 y=n

．
消去n得y=

1

2

x²-

1

2

，
該函數為二次函數，其圖象是拋物線．

點評：本題結合圓的相關知識考查了動態性和規律性問題，找出點A的坐標的規律是解題的關鍵．