Question

7．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度數（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度數．

Answer 1

分析 （1）根據圓內接四邊形的性質得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性質得∠EBF=∠A+∠E，由三角形內角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）利用（1）中的結論進行計算．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°-∠BCF-∠F，
∴∠A+∠E=180°-∠BCF-∠F，
∴∠A+∠E=180-∠A-∠F，
即2∠A=180°-（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）當α=60°時，∠A=90°-$\frac{1}{2}$×60°=60°．

點評 本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角．