Question

14．已知二次函數解的圖象與x軸的交點A，B間的距離為4，又對稱軸為x=1，C是A、B弧上任一點，△ABC的面積的最大值為8，求解析式．

Answer 1

分析 由三角形的面積求出拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y=a（x-1）²+h，然后把（3，0）代入求出a的值即可，注意分兩種情況．

解答 解：根據題意得：當C是拋物線的頂點時，△ABC的面積最大，
設頂點的坐標為（1，h），
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×|h|=8，
解得：h=±4，
∵二次函數圖象與x軸的交點A，B間的距離為4，對稱軸為x=1，
∴A（-1，0），B）3，0），
設所求二次函數的解析式為y=a（x-1）²+h，
當h=4時，把（3，0）代入得：a•（3-1）²+4=0，
解得：a=-1，
∴所求二次函數的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
當h=-4時，把（3，0）代入得：a•（3-1）²-4=0，
解得：a=1，
∴所求二次函數的解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3；
綜上所述：二次函數的解析式為：y=-x²+2x+3或y=x²-2x-3．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式；根據題意求出頂點坐標和分類討論是解決問題的關鍵．