Question

△ABC為等邊三角形，D為射線BC上一點，∠ADE=60°，DE與∠ACB的外角平分線交于點E．
（1）如圖1，點D在BC上，求證：CA=CD+CE；
（2）如圖2，若D在BC的延長線上，直接寫出CA、CD、CE之間的數量關系，

Answer 1

分析：（1）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC為等邊三角形，易得△CDM是等邊三角形，繼而可證得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，則可證得CA=CD+CE；
（2）首先在AC延長線上截取CM=CD，由△ABC為等邊三角形，易得△CDM是等邊三角形，繼而可證得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，則可證得CA=CE-CD．

解答：證明：（1）在AC上截取CM=CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC，
∵DE與∠ACB的外角平分線交于點E，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=120°=∠AMD，
在△ADM和△EDC中，

∠ADM=∠EDC MD=CD ∠AMD=∠ECD

，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM=EC，
∴CA=CM+AM=CD+CE；


（2）CA=CE-CD．
證明：在AC的延長線上截取CM=CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCM=60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∵DE與∠ACB的外角平分線交于點E，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠ECD=∠AMD，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDM，
∴∠ADM=∠EDC，
在△ADM和△EDC中，

∠ADM=∠EDC MD=CD ∠AMD=∠ECD

，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM=EC，
∴CA=AM-CM=CE-CD．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．