Question

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD與Q，PQ=4，PE=1．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求證：∠BPQ=60°； 
（3）求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠C=∠CAB=∠ABC=60°，AB=AC，根據(jù)SAS證△ABE≌△CAD即可；
（2）求出∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC，代入求出即可；
（3）求出∠PBQ=30°，求出BP=PQ=8，求出BE，即可得出AD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠CAB=∠ABC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）證明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠DAC=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60°．

（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴AD=BE=8+1=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．