Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=x²+bx+c經過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為 A （1，0），B （1，-5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代數式表示）：
（2）當4＜t＜5時，設拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．
①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面積S與t的函數關系式，并求t為何值時，S=

21

8

；
（3）在矩形ABCD的內部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c經過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；
（2）①當x=1時，y=1-t，求得M的坐標，則可求得∠AMP的度數，
②由S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM，即可求得關于t的二次函數，列方程即可求得t的值；
（3）根據圖形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不變．
∵拋物線的解析式為：y=x²-tx，且M的橫坐標為1，
∴當x=1時，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM
=

1

2

（t-4）（4t-16）+

1

2

[（4t-16）+（t-1）]×3-

1

2

（t-1）（t-1）
=

3

2

t²-

15

2

t+6．
解

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
得：t₁=

1

2

，t₂=

9

2

，
∵4＜t＜5，
∴t₁=

1

2

舍去，
∴t=

9

2

．

（3）

7

2

＜t＜

11

3

．
①左邊4個好點在拋物線上方，右邊4個好點在拋物線下方：無解；
②左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方：
則有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

7

2

＜t＜4且

10

3

＜t＜

11

3

，解得

7

2

＜t＜

11

3

；
③左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：無解；
④左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：無解；
⑤左邊0個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：無解；
綜上所述，t的取值范圍是：

7

2

＜t＜

11

3

．

點評：此題考查了二次函數與點的關系，以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．