Question

【題目】我們知道，很多數學知識相互之間都是有聯系的．如圖，圖一是“楊輝三角”數陣，其規律是：從第三行起，每行兩端的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和；圖二是二項和的乘方（a+b）n的展開式（按b的升冪排列）．經觀察：圖二中某個二項和的乘方的展開式中，各項的系數與圖一中某行的數一一對應，且這種關系可一直對應下去．將（s+x）15的展開式按x的升冪排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15

依上述規律，解決下列問題：（1）若s＝1，則a2＝___；（2）若s＝2，則a0+a1+a2+…+a15＝___．

Answer 1

【答案】（1）105； （2）315．

【解析】

（1）根據圖形中的規律即可求出（1+x）15的展開式中第三項的系數為前14個數的和；

（2）根據x的特殊值代入要解答，即把x=1代入時，得到結論．

（1）由圖2知：（a+b）1的第三項系數為0，

（a+b）2的第三項的系數為：1，

（a+b）3的第三項的系數為：3＝1+2，

（a+b）4的第三項的系數為：6＝1+2+3，

…

∴發現（1+x）3的第三項系數為：3＝1+2；

（1+x）4的第三項系數為6＝1+2+3；

（1+x）5的第三項系數為10＝1+2+3+4；

不難發現（1+x）n的第三項系數為1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），

∴s＝1，則a2＝1+2+3+…+14＝105．

故答案為：105；

（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．

當x＝1時，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，

故答案為：315．