Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直徑，與AB相交于點G，過點D作EF∥AB，分別交CA、CB的延長線于點E、F，連接BD.

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求證：BD2＝ACBF.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據圓的對稱性可得∠ACD＝∠BCD，根據等腰三角形的性質可得CD⊥AB，由EF//AB可得∠CDF＝∠CGB＝90°，即可得答案；（2）先證明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性質可知：，利用BC＝AC即可求證BD2＝ACBF.

（1）∵AC＝BC，CD是圓的直徑，

∴由圓的對稱性可知：∠ACD＝∠BCD，

∴CD⊥AB，

∵AB∥EF，

∴∠CDF＝∠CGB＝90°，

∵OD是圓的半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，

∴∠BDF＝∠CDB，

∴△BCD∽△BDF，

∴，

∴BD2＝BCBD，

∵BC＝AC，

∴BD2＝ACBF.