Question

【題目】已知平行四邊形ABCD．

（1）如圖1，將ABCD繞點D逆時針旋轉一定角度得到A1B1C1D，延長B1C1，分別與BC、AD的延長線交于點M、N．

①求證：∠BMB1＝∠ADA1；

②求證：B1N＝AN+C1M；

（2）如圖2，將線段AD繞點D逆時針旋轉，使點A的對應點A1落在BC上，將線段CD繞點D逆時針旋轉到C1D的位置，AC1與A1D交于點H．若H為AC1的中點，∠ADC1+∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，試用含n的式子表示的值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）2n+1

【解析】

（1）①先判斷出∠BMB1＝∠N，再判斷出∠N＝∠ADA1，即可得出結論；

②先判斷出∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，得出△DCE≌△DC1F，得出DE＝DF，進而判斷出Rt△DEM≌Rt△DMF，得出∠DME＝∠DMF，進而判斷出DN＝MN，即可得出結論；

（2）先判斷出AT＝2DH，得出∠ADT＝∠A1DC，進而判得出△A1DC≌△ADT，得出A1C＝AT＝2DH．即可得出結論．

解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠BMB1＝∠N，

由旋轉知，四邊形A1B1C1D是平行四邊形，

∴A1D∥B1C1，

∴∠N＝∠ADA1，

∴∠BMB1＝∠ADA1；

②如圖，連接DM，過D作DE⊥BC于E，作DF⊥MN于F，

∴∠DEC＝∠DFC1＝90°，

顯然，∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，

∴△DCE≌△DC1F（AAS），

∴DE＝DF，

∵DM＝DM，

∴Rt△DEM≌Rt△DMF（HL），

∴∠DME＝∠DMF，

又∵AN∥BM，

∴∠DME＝∠MDN，

∴∠DMN＝∠MDN，

∴DN＝MN，

又AD＝BC＝B1C1，

∴B1N＝B1C1+C1M+MN＝AD+C1M+DN＝AN+C1M；

（2）如圖，延長C1D至點T，使DT＝DC1，連接AT，

∵H為AC1的中點，

∴AT＝2DH（三角形中位線定理）．

∵∠ADC1+∠A1DC＝180°，∠ADC1+∠ADT＝180°，

∴∠ADT＝∠A1DC，

由旋轉知，A1D＝AD，DC＝DC1＝DT，

∴△A1DC≌△ADT（SAS），

∴A1C＝AT＝2DH．

設DH＝a，則A1C＝AT＝2a，

A1B＝nA1C＝2an，A1D＝AD＝BC＝A1B+A1C＝2an+2a，

∴A1H＝A1D﹣DH＝2an+2a﹣a＝2an+a，

∴＝2n+1．