Question

【題目】如圖，為的直徑，直線于點.點在上，分別連接，，且的延長線交于點，為的切線交于點.

（1）求證：；

（2）連接，若，，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據切線的性質得，由切線長定理可證，從而，然后根據等角的余角相等得到，從而根據等腰三角形的判定定理得到結論；

（2）根據勾股定理計算出AC=8，再證明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后證明OF為△ABD的中位線，從而根據三角形中位線性質求出OF的長．

（1）證明：∵是的直徑，

∴（直徑所對的圓周角是），

∴，

∴，

∵是的直徑，于點，

∴是的切線（經過半徑外端且與半徑垂直的直線是圓的切線），

∵是的切線，

∴（切線長定理），

∴，

∵，，

∴，∴，

∵.

（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，

根據勾股定理求得，

在和中

，

∴（兩個角對應相等的兩個三角形相似），

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴是的中位線，

∴（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）.