Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，一次函數y＝kx＋b的圖象l經過拋物線上的點C（m，n）

（1）求拋物線的解析式；

（2）若m＝3，直線l與拋物線只有一個公共點，求k的值；

（3）若k＝﹣2m＋2，直線l與拋物線的對稱軸相交于點D，點P在對稱軸上．當PD＝PC時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；（2）k＝﹣4；（3）P（1，）

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線解析式得到關于b、c的方程組，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根據題意得到一次函數的解析式為y=kx－3k，當直線l與拋物線只有一個公共點時，方程kx－3k=-x2＋2x＋3有兩個相等的實數根，進而得到（k－2）2＋4（3k＋3）=0，解關于k的方程即可；
（3）過C點作CH⊥PD于H，根據題意得到n=（-2m＋2）m＋b，n=-m2＋2m＋3，即可得到b=m2＋3，所以直線l為y=（-2m＋2）x＋m2＋3，由對稱軸為x=1，求得D為（1，8－n），設P（1，p），則PD=8－n－p，HC=m－1，PH=p－n，在Rt△PCH中，PC=PD=8－n－p，根據勾股定理得到（8－n－p）2=（p－n）2+（m－1）2，變形得到（8－2n）（8－2p）=m2－2m＋1，進一步得到2（4－n）（8－2p）=4－n，即2（8－2p）=1，求得p的值，即可得到P的坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴，

解得．

所以，拋物線的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；

（2）∵拋物線上的點C（m，n），

∴n＝﹣m2＋2m＋3，

當m＝3時，n＝0，

∴C（3，0），

∴一次函數y＝kx＋b的圖象l經過拋物線上的點C（m，n），

∴3k＋b＝0，

∴b＝﹣3k，

∴一次函數的解析式為y＝kx﹣3k，

∵直線l與拋物線只有一個公共點，

∴方程kx﹣3k＝﹣x2＋2x＋3有兩個相等的實數根，

∴（k﹣2）2＋4（3k＋3）＝0，

解得k＝﹣4；

（3）如圖，過C點作CH⊥PD于H，

C（m，n）在直線y＝kx＋b上，

∴n＝（﹣2m＋2）m＋b，

∵點C在拋物線上，

∴n＝﹣m2＋2m＋3，

∴b＝m2＋3，

∴直線l為y＝（﹣2m＋2）x＋m2＋3，

∵直線l與拋物線的對稱軸相交于點D，

∴D的橫坐標為1，代入得：y＝﹣2m＋2＋m2＋3＝8﹣（﹣m2＋2m＋3）＝8﹣n，

∴D（1，8﹣n），

設P（1，p），則PD＝8﹣n﹣p，HC＝m﹣1，PH＝p﹣n，

在Rt△PCH中，PC＝PD＝8﹣n﹣p，

∴（8﹣n﹣p）2＝（p﹣n）2＋（m﹣1）2

∴（8﹣n﹣p）2﹣（p﹣n）2＝（m﹣1）2，

∴（8﹣2n）（8﹣2p）＝m2﹣2m＋1，

∵n＝﹣m2＋2m＋3，

∴2（4﹣n）（8﹣2p）＝4﹣n，

∵k＝﹣2m＋2≠0，

∴m≠1，

∴n≠4，

∴4﹣n≠0，

∴2（8﹣2p）＝1，

∴p＝，

∴P（1，）．