Question

已知實數a、b滿足條件a＞0，b＞0，且a+b=4，則代數式

a2+1

+

b2+4

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據題意構造三角形，然后利用軸對稱的性質求最短距離．

解答：解：作圖如下所示，作AC⊥AB，BD⊥AB，
設AC=1，BD=2，AB=4，
在AB上取一點F，將AB分為AF和BF，
設AF=a，BF=b=4-a，
∴CF=

a2+1

，DF=

b2+4

=

(4-a)2+4

，
∴CF+DF=

a2+1

+

b2+4

，
要求CF+DF的最小值，問題轉化為在AB上找到一點F，使得CF+DF最小，
過C作關于AB對稱點E，使得CA=EA=1，
連DE交AB于F，由CF+DF=DE，此時CF+DF最短．
∴代數式

a2+1

+

b2+4

的最小值=（CF+DF）的最小值=DE=

32+42

=5．
故答案為：5．

點評：本題考查利用軸對稱求最短路線的問題，難度較大，解題關鍵是將求代數式

a2+1

+

b2+4

的最小值巧妙地轉化成幾何問題．