Question

【題目】如圖，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E為AB的中點，

（1）如圖1，求證：△ECD是等腰三角形；

（2）如圖2，CD與AB交點為F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根據直角三角形定點和底邊中點的連線等于底邊的一半即可求解.

(2)求出DE⊥AB，再根據相關關系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的長.

（1）證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E為AB的中點，

∴CE=AB，DE=AB

∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；

（2）∵AD=BD，E為AB的中點，

∴DE⊥AB，

已知DE=4，EF=3，

∴DF=5，

過點E作EH⊥CD，

∵∠FED=90°，EH⊥DF，

∴EH==，

∴DH==，

∵△ECD是等腰三角形，

∴CD=2DH=．