Question

【題目】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，過點A作AD⊥BF，垂足為D．

（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）若BD=1，tan∠BAD= ，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF，

∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；

∵∠OAC=∠OCA，

∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴DA為⊙O的切線

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD= ，

∴AD=2，

∴AB= = ，

∴cos∠DBA= ；

∵∠DBA=∠CBA，

∴BC= = =5．

∴⊙O的直徑為5．

【解析】（1）連接OA，由題意可得∠ADB=∠BAC=90°，再由BA平分∠CBF，可得∠DBA=∠CBA，再由∠OAC=∠OCA，繼而可得∠DAO=90°，可證明結論；
（2）由BD=1，tan∠BAD的值可求得AD的值，再由勾股定理可求出AB的值，可求出cos∠DBA的值，在Rt△ABC中由cos∠DBA=可求出BC的長，可得圓的直徑.
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．