Question

【題目】已知二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（2）如果此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴當(dāng)y=0時(shí)，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

△=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0

∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）的圖象與x軸總有交點(diǎn)

（2）解：∵二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴當(dāng)y=0時(shí)，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1），

∴ ，

又∵此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，

∴正整數(shù)m的值是：1或2，

即正整數(shù)m的值是1或2.

【解析】（1）求出判別式，然后配方可判斷其符號(hào)，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）解關(guān)于x的一元二次方程求出其解，再根據(jù)此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)可確定m的值.
【考點(diǎn)精析】掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解答本題的根本，需要知道一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．