Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=，BE=2．

求證：（1）四邊形FADC是菱形；

（2）FC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】證明：（1）連接OC，

∵AF是⊙O切線，∴AF⊥AB。

∵CD⊥AB，∴AF∥CD。

∵CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形。

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴。

設OC=x，

∵BE=2，∴OE=x﹣2。

在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，

∴，解得：x=4。

∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。

在Rt△AED中，，∴AD=CD。

∴平行四邊形FADC是菱形。

（2）連接OF，

∵四邊形FADC是菱形，∴FA=FC。

在△AFO和△CFO中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS）。

∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。

∵點C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線。

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OC的長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；

（2）連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線。