Question

【題目】數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分線CF于點F，求證：AE=EF．

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）正確．證明見解析；（2）正確．證明見解析.

【解析】

（1）在上取一點，使，連接，根據已知條件利用判定，因為全等三角形的對應邊相等，所以．

（2）在的延長線上取一點，使，連接，根據已知利用判定，因為全等三角形的對應邊相等，所以．

解：（1）正確．

證明：在上取一點，使，連接．

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是外角平分線，

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，，

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（2）正確．

證明：如圖示，在的延長線上取一點，使，連接．

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平分，

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，

四邊形是正方形，

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即，

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．