Question

12．一次函數y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊在第一象限內做等邊△ABC
（1）求△ABC的面積和點C的坐標；
（2）如果在第二象限內有一點P（a，$\frac{1}{2}$），試用含a的代數式表示四邊形ABPO的面積．
（3）在x軸上是否存在點M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先令x=0，y=0求出一次函數的解析式．然后根據勾股定理求出AB的長，繼而可求出三角形ABC的面積．
（2）依題意可得出S_{四邊形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP．
（3）設出點M的坐標，分三種，列方程即可得出結論．

解答 解：（1）y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∵△AOB為直角三角形，
∴AB=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×sin60°=$\sqrt{3}$．
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴C（1，2）；
（2）如圖1，

S_{四邊形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP=$\frac{1}{2}$×OA×OB+$\frac{1}{2}$×OB×h=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×1×|a|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a．
∵P在第二象限，
∴a＜0
∴S_{四邊形ABPO}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-a}{2}$，
（3）如圖2，

設點M（m，0），
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴AM²=（m-$\sqrt{3}$）²，MB²=m²+1，AB=2，
∵△MAB為等腰三角形，
∴①MA=MB，
∴MA²=MB²，
∴（m-$\sqrt{3}$）²=m²+1，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
②MA=AB，
∴MA²=AB²，
∴（m-$\sqrt{3}$）²=4，
∴m=$\sqrt{3}$±2，
∴M（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）
③MB=AB，
∴MB²=AB²，
∴m²+1=4，
∴m=$\sqrt{3}$（舍）或m=-$\sqrt{3}$．
∴M（-$\sqrt{3}$，0）．
∴滿足條件的M的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）、（$\sqrt{3}$+2，0）、（$\sqrt{3}$-2，0）、（-$\sqrt{3}$，0）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查一次函數圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質、解直角三角形，等腰三角形的性質，要充分利用函數的特點圖形的特征．