Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上的一個動點，PE⊥AB，PF⊥CD，CM⊥AB，垂足分別為E、F、M，則PE、PF、CM三者間存在怎樣的數量關系？證明你的結論．

Answer 1

PE+PF=CM．
證明：如圖所示，作PN⊥CM，
∵PE⊥AB，CM⊥AB，∴四邊形EPNM為矩形，
∴PE=MN，PN∥AB，
故∠NPC=∠ABC．
由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD．
∴∠CPN=∠PCF．
在Rt△CPN和Rt△PCF中，
∠PNC=∠CFP=90°，∠CPN=∠PCF，PC=PC，
∴△CPN≌△PCF，
∴CN=PF，即PE+PF=MN+CN=CM．
解法二：
延長BA、CD交于O，連接PO，
則S_△OBC=S_△OPB+S_△OPC，
即

1

2

OB×PE+

1

2

OC×PF=

1

2

OB×CM，
而由等腰梯形ABCD得：∠ABC=∠DCB，
即OB=OC，
∴PE+PF=CM．