Question

【題目】有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數互為倒數的正、反比例函數y= x與y= （k≠0）的圖象性質．
小明根據學習函數的經驗，對函數y= x與y= ，當k＞0時的圖象性質進行了探究．
下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，設函數y= x與y= 圖象的交點為A，B，已知A點的坐標為（﹣k，﹣1），則B點的坐標為；
（2）若點P為第一象限內雙曲線上不同于點B的任意一點．
①設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N．求證：PM=PN．
證明過程如下，設P（m， ），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則 ，
解得
∴直線PA的解析式為
請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明．
②當P點坐標為（1，k）（k≠1）時，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）（k，1）
（2）

②解：由①可知，在△PMN中，PM=PN，

∴△PMN為等腰三角形，且MH=HN=k．

當P點坐標為（1，k）時，PH=k，

∴MH=HN=PH，

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，

∴△PAB為直角三角形．

當k＞1時，如圖1，

S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，

= MNPH﹣ ONyB+ OM|yA|，

= ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，

=k2﹣1；

當0＜k＜1時，如圖2，

S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，

= ONyB﹣k2+ OM|yA|，

= （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，

=1﹣k2

【解析】解：（1）由正、反比例函數圖象的對稱性可知，點A、B關于原點O對稱，
∵A點的坐標為（﹣k，﹣1），
∴B點的坐標為（k，1）．
所以答案是：（k，1）．
2）①證明過程如下，設P（m， ），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則 ，
解得： ，
∴直線PA的解析式為y= x+ ﹣1．
當y=0時，x=m﹣k，
∴M點的坐標為（m﹣k，0）．
過點P作PH⊥x軸于H，如圖1所示，
∵P點坐標為（m， ），
∴H點的坐標為（m，0），
∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
所以答案是： ；y= x+ ﹣1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的圖象的相關知識，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點，以及對反比例函數的性質的理解，了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．