Question

【題目】如圖，A（2，0），D（6，4），將線段AD平移得到BC，B（0，﹣6），延長BC交x軸于點E．

（1）則△ABC的面積是　 ；

（2）Q為x軸上一動點，當△ABC與△ADQ的面積相等時，試求點Q的坐標．

（3）若存在一點M（m，6）且△ADM的面積不小于△ABC的面積，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的面積為8；（2）當△ABC與△ADQ的面積相等時，點Q的坐標為（﹣2，0）或（6，0）；（3）△ADM的面積不小于△ABC的面積，m的取值范圍為m≤4或m≥12．

【解析】

（1）連接AC作CH⊥AE于H，根據平移的性質求出點C的坐標，根據梯形的面積公式、三角形的面積公式計算即可；

（2）設點Q的坐標為（x，0），根據題意列出方程，解方程即可；

（3）直線BC的解析式為y=x-6，直線y=x-6交直線y=6于M′（12，6），此時△ADM′的面積=8，由A（2，0），D（6，4），推出直線AD的解析式為y=x-2，直線y=x-2交y軸于P（0，-2），在y軸上取一點N，使得PN=PB，則N（0，2），作NM∥AD，直線MN的解析式為y=x+2，直線MN交直線y=6于M（4，6），此時△ADM的面積=8，由此幾何圖形即可解決問題.

（1）如圖1中，連接AC作CH⊥AE于H，

∵點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，﹣6），

∴點A先向左移動2個單位，再向下移動6個單位得到點B，

∵點D的坐標為（6，4），

∴點C的坐標為（4，﹣2），

∴△ABC的面積＝×（2+6）×4﹣×2×6﹣×2×2＝8，

故答案為：8；

（2）設點Q的坐標為（x，0）

由題意得，×|x﹣2|×4＝8，

解得，x＝﹣2或6，

∴當△ABC與△ADQ的面積相等時，點Q的坐標為（﹣2，0）或（6，0）；

（3）如圖2中，

∵B（0，﹣6），C（4，﹣2），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣6，直線y＝x﹣6交直線y＝6于M′（12，6），此時△ADM′的面積＝8，

∵A（2，0），D（6，4），

∴直線AD的解析式為y＝x﹣2，直線y＝x﹣2交y軸于P（0，﹣2），

在y軸上取一點N，使得PN＝PB，則N（0，2），作NM∥AD，

直線MN的解析式為y＝x+2，直線MN交直線y＝6于M（4，6），此時△ADM的面積＝8，

∴△ADM的面積不小于△ABC的面積，m的取值范圍為m≤4或m≥12．