Question

【題目】 已知，在中，是邊上的一個動點，將沿所在直線折疊，使點落在點處.

（1）如圖1，若點是中點，連接 . ①寫出的長；②求證：四邊形是平行四邊形.

（2）如圖2，若，過點作交的延長線于點，求的長.

Answer 1

【答案】（1）①BD=，BP= 2．②證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①分別在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解決問題；

②想辦法證明DP∥BC，DP=BC即可；

（2）如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．設BD=AD=x，則CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=，推出DN=，由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解決問題．

試題解析：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，

∴AB=，

∵AD=CD=2，

∴BD=，

由翻折可知，BP=BA=2．

②如圖1中，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°，

∴∠ADB=∠BDP=135°，

∴∠PDC=135°﹣45°=90°，

∴∠BCD=∠PDC=90°，

∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，

∴四邊形BCPD是平行四邊形．

（2）如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．

設BD=AD=x，則CD=4﹣x，

在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，

∴x2=（4﹣x）2+22，

∴x=，

∵DB=DA，DN⊥AB，

∴BN=AN=，

在Rt△BDN中，DN=，

由△BDN∽△BAM，可得，

∴

∴AM=2，

∴AP=2AM=4，

由△ADM∽△APE，可得，

∴，

∴AE=，

∴EC=AC﹣AE=4﹣=，

易證四邊形PECH是矩形，

∴PH=EC=．