Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB＝16，點D與點A關于y軸對稱，tan∠ACB＝，點E、F分別是線段AD、AC上的動點，（點E不與點A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．

（1）求AC的長和點D的坐標；

（2）求證：；

（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AC=20，D（12，0）；（2）見解析；（3）（8，0）或(，0)．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用三角函數和勾股定理即可求出BC、AC的長度，從而得到A點坐標，由點D與點A關于y軸對稱，進而得到D點的坐標；

（2）欲證，只需證明△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個對應角相等即可．在△AEF與△DCE中，易知∠CAO＝∠CDE，再利用三角形的外角性質證得∠AEF＝∠DCE，問題即得解決；

（3）當△EFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：

①當CE＝EF時，此時△AEF與△DCE相似比為1，則有AE＝CD，即可求出E點坐標；

②當EF＝FC時，利用等腰三角形的性質和解直角三角形的知識易求得CE，再利用（2）題的結論即可求出AE的長，進而可求出E點坐標；

③當CE＝CF時，可得E點與D點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴∠B=90°，∵AB＝16，tan∠ACB＝，

∴，解得：BC＝12=AO，

∴AC＝20，A點坐標為（﹣12，0），

∵點D與點A關于y軸對稱，∴D（12，0）；

（2）∵點D與點A關于y軸對稱，∴∠CAO＝∠CDE，

∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，∴∠CDE＝∠CEF，

又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE．

∴；

（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當CE＝EF時，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，

∴AE＝CD＝20，∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8，∴E（8，0）；

②當EF＝FC時，如圖1所示，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，

∴CE＝2ME＝2EFcos∠CEF＝2EFcos∠ACB＝．

∵△AEF∽△DCE，

∴，即：，解得：AE＝，

∴OE＝AE﹣OA＝，∴E(，0)．

③當CE＝CF時，則有∠CFE＝∠CEF，

∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，

∴∠CFE＝∠CAO，即此時F點與A點重合，E點與D點重合，這與已知條件矛盾．

所以此種情況的點E不存在，綜上，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標是（8，0）或(，0)．