Question

10．如圖，直線OA的解析式為y=3x，點 A的橫坐標是-1，OB=$\sqrt{2}$，OB與x軸所夾銳角是45°．
（1）求B點坐標；
（2）求直線AB的函數表達式；
（3）若直線AB與y軸的交點為點D，求△AOD的面積；
（4）在直線AB上存在異于點A的另一點P，使得△ODP與△ODA的面積相等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥x軸于點E，則△BOE為等腰直角三角形，由此得出OE=BE、OB=$\sqrt{2}$OE，結合OB=$\sqrt{2}$即可得出OE=BE=1，再根據點B所在的象限即可得出點B的坐標；
（2）由點A的橫坐標利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點A的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的函數表達式；
（3）將x=0代入直線AB的函數表達式中即可求出點D的坐標，再根據三角形的面積公式即可得出△AOD的面積；
（4）由△ODP與△ODA的面積相等可得知x_P=-x_A，再根據一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示．
∵∠BOE=45°，BE⊥OE，
∴△BOE為等腰直角三角形，
∴OE=BE，OB=$\sqrt{2}$OE．
∵OB=$\sqrt{2}$，
∴OE=BE=1，
∴點B的坐標為（1，-1）．
（2）當x=-1時，y=-3，
∴點A的坐標為（-1，-3）．
設直線AB的表達式為y=kx+b（k≠0），
將（-1，-3）、（1，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數表達式為y=x-2．
（3）當x=0時，y=-2，
∴點D的坐標為（0，-2），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•|x_A|=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
（4）∵△ODP與△ODA的面積相等，
∴x_P=-x_A=1，
當x=1時，y=1-2=-1，
∴點P的坐標為（1，-1）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．