Question

20．如圖，已知斜坡AB長為80米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺DE的長；（結果保留根號）
（2）一座建筑物GH距離A處36米遠（即AG為36米），小明在D處測得建筑物頂部H的仰角（即∠HDM）為30°．點B、C、A、G、H在同一個平面內，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據題意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，進而得出EF的長，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD，以及PA=AD•cos30°進而得出DM的長，利用HM=DM•tan30°得出即可．

解答 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角為45°，
∴∠BEF=45°，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BD=20，DF=$20\sqrt{3}$，
∴DE=DF-EF=20$\sqrt{3}$-20，
∴平臺DE的長為（20$\sqrt{3}$-20）米；

（2）過點D作DP⊥AC，垂足為P．
在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×40=20，PA=AD•cos30°=20$\sqrt{3}$，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20$\sqrt{3}$+36．
在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（20$\sqrt{3}$+36）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=20+12$\sqrt{3}$，
則GH=HM+MG=20+12$\sqrt{3}$+20=40+12$\sqrt{3}$．
答：建筑物GH高為（40+12$\sqrt{3}$）米．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題以及仰角俯角問題，根據圖形構建直角三角形，進而利用銳角三角函數得出是解題關鍵．