Question

【題目】在△ABC中，∠B＝45°， AM⊥BC，垂足為M．

（1）如圖1，若AB＝4，BC＝7，求AC的長；

（2）如圖2， 點D是線段AM上一點，MD=MC，點E是△ABC外一點，CE=CA，連接ED并延長交BC于點F，且∠BDF＝∠CEF，

求證①AC＝BD；

②BF＝CF．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析.

【解析】

（1）先由AM=BM=ABcos45°=4可得CM=3，再由勾股定理可得AC的長；
（2）①由AM⊥BC，得∠AMC＝∠BMD＝90°，再由三角形全等可證AC＝BD；

②延長EF到點G，作BG∥EC，可得∠G＝∠CEF，證得BG＝CE，再證△BFG≌△CFE可得BF＝CF．

（1）解：∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝90°．

∵∠B＝45°，

∴∠BAM＝90°－45°＝45°．

∴BM＝AM．

∵AB＝，

∴BM＝4．

∴CM＝BC－BM＝3．

∵∠AMC＝90°，

∴AC=．

（2）①∵AM⊥BC，

∴∠AMC＝∠BMD＝90°．

∵MC＝MD，AM＝BM，

∴△AMC≌△BMD．

∴AC＝BD．

②延長EF，過B作BG∥EC交EF延長線于點G．

∵BG∥CE，

∴∠G＝∠CEF．

∵∠BDF＝∠CEF，

∴∠G＝∠BDF．

∴BG＝BD．

∵AC＝CE，AC＝BD，

∴BG＝CE．

∵∠BFG＝∠CFE，

∴△BGF≌△CEF．

∴BF＝CF．