Question

【題目】一組對邊平行，另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
（1）類比研究
我們在學完平行四邊形后，知道可以從對稱性、邊、角和對角線四個角度對四邊形進行研究，完成表．

四邊形	對稱性	邊	角	對角線
平行 四邊形	．	兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等．	兩組對角 分別相等．	對角線互相平分．
等腰 梯形	軸對稱圖形，過平行的一組對邊中點的直線是它的對稱軸．	一組對邊平行，另一組對邊相等．	．	．

（2）演繹論證
證明等腰梯形有關角和對角線的性質．
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD是對角線．
求證：
證明：
揭示關系
我們可以用圖來揭示三角形和一些特殊三角形之間的關系．

（3）請用類似的方法揭示四邊形、對角線相等的四邊形、平行四邊形、矩形以及等腰梯形之間的關系．

Answer 1

【答案】
（1）中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心；同一底上的兩個角相等；對角線相等．
（2）

求證：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD

證明： ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

故答案分別為中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心；同一底上的兩個角相等；對角線相等；∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

方法一：

證明：過點D作DE∥AB，交BC于點E．

∴∠ABE=∠DEC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴AB=DE，

又∵AB=DC，

∴DE=DC，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

方法二：

證明：分別過點A、D作AE⊥BC于點E、DF⊥BC于點F．

∴∠AEF=∠DFC=90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AE=DF，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF，

∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

（3）

解：如圖所示．

【解析】（1）根據平行四邊形、等腰梯形的性質即可解決問題．
（2.）結論：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：過點D作DE∥AB，交BC于點E． 首先證明四邊形ABED是平行四邊形，推出AB=DE，又AB=DC，推出DE=DC，推出∠DCE=∠DEC，推出∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再證明△ABC≌△DCB即可解決問題．
方法二：分別過點A、D作AE⊥BC于點E、DF⊥BC于點F． 由Rt△ABE≌Rt△DCF，推出∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再證明△ABC≌△DCB，即可．
（3.）模仿三角形和一些特殊三角形之間的關系，畫出圖形即可．
【考點精析】掌握推理與論證是解答本題的根本，需要知道一個正確的論證必須滿足兩個條件：1、論據（前提）是真實的；2、論證方式（推理形式）是正確的（有效的）．