Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動點F、E，點F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點B向點C勻速運動；同時點E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點C向點D勻速運動．當點F到達點C時，點E同時停止運動．設點F運動的時間為t（秒）．
（1）求AD的長；
（2）設四邊形BFED的面積為y，求y 關于t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍
（3）當t為何的值時，以EE為半徑的⊙F與CD邊只有一個公共點．

Answer 1

（1）cm．（2），0＜t＜5．（3），，.

試題分析：（1）首先根據已知條件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行線的性質（兩直線AD∥CB，內錯角∠ADB=∠DBC）證明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的對應邊成比例求得AD的長度；
（2）過點E作BC的垂線，垂足為G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函數求得EG=t，然后利用割補法求得四邊形EFDB的面積；
（3）進行分類討論.
（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，所以BD=8cm．
因為AD//BC，所以∠ADB=∠CBD．
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=，
所以AD="BD" cos∠ADB=cm．
（2）△BCD的面積為24．
如圖，過點E作EH⊥AB，垂足為H．
在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，所以EH=CE sin∠C=t．
因此．
所以．定義域為0＜t＜5．

（3）①如圖1，當⊙F經過點D，則⊙F與邊CD有兩個交點
所以過點D作DH⊥BC，EK⊥BC
所以DF=EF
所以在Rt△DFH和Rt△EFK中，
 
  

 
所以當⊙F與邊CD只有一個交點。
②如圖2，
當時，⊙F與邊CD相切
③如圖3，時，⊙F經過點C，所以當時，⊙F與邊CD只有一個交點。
綜上所述，當，，時，⊙F與邊CD只有一個交點。