Question

如圖，點(diǎn)l是△ABC的內(nèi)心，線段AI的延長(zhǎng)線交△ABC外切圓于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E．
（1）求證：lD=BD．
（2）若

BE

AB

=

2

3

，lE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB，
∴ID=BD．

（2）∵∠DBC=∠CAD，
又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，
設(shè)DE=2a，則BD=3a，
則AD=

9

2

a
∵ID=BD，
∴IE=ID-DE=3a-2a=2，
∴a=2，
∴AD=9．