Question

【題目】如圖，在中，為直線上任意一點，給出以下判斷：

①若點到，距離相等，且，則；②若且，則；③若，則；④若，且，則．其中正確的是________（把所有正確結論序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①如圖1，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，通過證明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到∠B=∠C，即可得到結論；
②由垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°，由AD2=BDDC，得到，證得△ABD∽△ACD，根據相似三角形的性質得到∠BAD=∠C，即可得到結論；
③作AE⊥BC于E，根據勾股定理得到AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，再兩式相減即可求解；
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，則可判斷Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根據比例的性質即可得到結論．

解：①圖1，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵點D到AB，AC距離相等，
∴DE=DF，
在Rt△BDE與Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC； ①正確

②AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD2=BDDC，
∴，
∴△ABD∽△ACD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠BAC=90°； ②正確

③如圖2，作AE⊥BC于E，則
AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
則AB2-AD2=（AE2+BE2）-（AE2+DE2）=BE2-DE2=（BE+DE）（BE-DE）=BDDC，
則AD2+BDDC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2+BDDC=AC2；

如圖3，作AE⊥BC于E，則
AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
則AD2-AB2=（AE2+DE2）-（AE2+BE2）=DE2-BE2=（BE+DE）（DE-BE）=BDDC，
則AD2-BDDC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2-BDDC=AC2；故③錯誤；
④∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD2=CDBD．④正確
故答案為：①②④．