Question

【題目】如圖，點E為⊙O的直徑AB上一個動點，點C、D在下半圓AB上（不含A、B兩點），且∠CED=∠OED=60°，連OC、OD

（1）求證：∠C=∠D；

（2）若⊙O的半徑為r，請直接寫出CE+ED的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）r＜CE+ED＜2r

【解析】

（1）延長CE交⊙O于D′，連接OD′，由已知求得∠AEC=60°，進而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根據圓是軸對稱圖形即可證得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根據等腰三角形的性質求得∠D′=∠C，從而證得結論；
（2）證得∠COD′＞60°，從而證得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，從而得出r＜CE+ED＜2r．

證明：（1）延長CE交⊙O于D′，連接OD′

∵∠CED=∠OED=60°，

∴∠AEC=60°，

∴∠OED′=60°，

∴∠DEO=∠D′EO=60°，

由軸對稱的性質可得∠D=∠D′，ED=ED′，

∵OC=OD′，

∴∠D′=∠C，

∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，

∴∠C＜60°，

∴∠C=∠D′＜60°，

∴∠COD′＞60°，

∴CD′＞OC=OD′，

∵CD′＜OC+OD′，

∵CE+ED=CE+ED′=CD′，

∴r＜CE+ED＜2r．