Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發按圖中“→”方向運動，每次運動1個單位長度，得到點P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、…，且△OP₁P₂、△P₂P₄P₆、△P₆P₉P₁₂…都是等邊三角形，則P₁的坐標是______，P₄₂₀的坐標是______．

Answer 1

∵△OP₁P₂是等邊三角形，
∴∠P₁OP₂=60°，
1×cos60°=1×

1

2

=

1

2

，
1×sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
∴點P₁的坐標是（

1

2

，

3

2

）；

∵第1個三角形有2個點，
第2個三角形增加4個點，
第3個三角形增加6個點，
…，
依此規律，第n個三角形增加2n個點，
∴2+4+6+…+2n=

(2+2n)•n

2

，

(2+2n)•n

2

=420，
整理得，n²+n-420=0，
解得n=20，n=-21（舍去），
∴P₄₂₀是第20個三角形最后的一個點，在x軸上，
∵1+2+3+…+20=

(1+20)•20

2

=210，
∴P₄₂₀的坐標是（210，0）．
故答案為：（

1

2

，

3

2

）；（210，0）．