Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，﹣2），點B（3m，2m+1），點C（6，2），點D．

（1）線段AC的中點E的坐標為_____；

（2）ABCD的對角線BD長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】（3，0）

【解析】

（1）根據點A、點C的坐標，根據中點坐標公式進行求解即可得；

（2）如圖，根據點B的坐標確定出B在直線y=x+1上，根據垂線段最短可得當BD⊥直線y=x+1時，BD最小，由此根據已知條件添加輔助線進行求解即可得.

（1）∵點A（0，﹣2），點C（6，2），

∴線段AC的中點E的坐標為（3，0），

故答案為：（3，0）．

（2）如圖，∵點B（3m，2m+1），

∴令，

∴y=x+1，

∴B在直線y=x+1上，

∴當BD⊥直線y=x+1時，BD最小，

過B作BH⊥x軸于H，則BH=2m+1，

∵BE在直線y=x+1上，且點E在x軸上，

∴E（﹣，0），G（0，1），

∵平行四邊形對角線交于一點，且AC的中點一定在x軸上，

∴F是AC的中點，

∵A（0，﹣2），點C（6，2），

∴F（3，0），

在Rt△BEF中，BH⊥EF，

∴△BEH∽△FBH，

∴BH：FH=EH：BH，∴BH2=EHFH，

∴（2m+1）2=（3m+）（3﹣3m），

解得：m=或﹣（舍棄），

∴B（，），

∴BF=，

∴BD=2BF=，

則對角線BD的最小值是，

故答案為：．