Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為邊BC的中點，過點A作射線AE，過點C作CF⊥AE于點F，過點B作BG⊥AE于點G，連接FD并延長，交BG于點H.

（1）求證：DF=DH；

（2）若∠CFD=120°，求證：△DHG為等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題

（1）首先證明∠1=∠2，再證明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；

（2）首先根據角的和差關系可以計算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根據直角三角形的性質可得，HG=HF，進而得到結論．

試題解析：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，

∴∠BGF=∠CFG=90°，

∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，

∵∠GMB=∠CME，

∴∠1=∠2，

∵點D為邊BC的中點，

∴DB=CD，

在△BHD和△CED中，

∴△BHD≌△CED（ASA），

∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，

∴∠GFH=30°，

∵∠BGM=90°，

∴∠GHD=60°，

∵△HGF是直角三角形，HD=DF，

∴DG=HF=DH，

∴△DHG為等邊三角形．