Question

【題目】如圖，拋物線經過點A(4，0)、B(1，0)，交y軸于點C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一點，過點P作于點H，求線段PH長度的最大值．

（3）Q為拋物線上的一個動點（不與點A、B、C重合），軸于點M，是否存在點Q，使得以點A、Q、M三點為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）根據待定系數法解答即可；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，過點 P 作 x 軸的垂線，交直線 AC 于點 E，如圖1，設點P的橫坐標為t，則PE可用含t的代數式表示，易證△PEH∽△ACO，可得，于是PH可用含t的代數式表示，然后根據二次函數的性質即可求出PH長度的最大值；

（3）設Q點的橫坐標為m，則Q點的縱坐標可用m的代數式表示，分三種情況：當1＜m＜4時，如圖2；當m＞4時，如圖3；當m＜1時，如圖4，根據相似三角形的性質分與兩種情況，建立關于m的方程求解即可．

解：（1）將 A（4，0）、B（1，0）代入，

得：，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）將代入，得，∴．

設直線 AC 的解析式為，

將 A（4，0）代入，解得：，

∴直線 AC 的解析式為．

過點 P 作 x 軸的垂線，交直線 AC 于點 E，如圖1，

設 ，則．

∴．

∵∠PEH=∠ACO，∠PHE=∠AOC=90°，

∴△PEH∽△ACO，

∴，

∴．

∴當時，PH 有最大值；

（3）存在，點或或．

理由如下：

設Q點的橫坐標為m，則Q點的縱坐標為﹣m2+m﹣2，

當1＜m＜4時，如圖2，AM＝4﹣m，QM＝﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

∴①當時，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（﹣m2+m﹣2），

解得：m＝2或m＝4（舍去），

此時Q（2，1）；

②當時，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝﹣m2+m﹣2，

解得：m＝4或m＝5（均不合題意，舍去）；

當m＞4時，如圖3，AM＝m－4，QM＝m2－m+2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

∴①當時，△AQM∽△ACO，即m－4＝2（m2－m+2），

解得：m＝2或m＝4（均不合題意，舍去）；

②當時，△AQM∽△CAO，即2（m－4）＝m2－m+2，

解得：m＝5或m＝4（不合題意，舍去）；

∴Q（5，﹣2）；

當m＜1時，如圖4，AM＝4－m，QM＝m2－m+2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

①當時，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（m2－m+2），

解得：m＝0或m＝4（均不合題意，舍去）；

②當時，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝m2－m+2，

解得：m＝﹣3或m＝4（不合題意，舍去）；

∴Q（﹣3，﹣14）；

綜上所述，符合條件的點Q為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．