Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于，兩點（點在點左側），與軸交于點.

（1）若是等腰直角三角形，且其腰長為3，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，點為拋物線對稱軸上的一點，求的最小值

（3）連接，在直線下方的拋物線上，是否存在點，使的面積最大，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）的面積最大為，此時的坐標為.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到OB=OC=3，則C（0，3），B（3，0），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）連接BC交直線l于P，如圖，根據兩點之間線段最短可判斷此時PC+PA的值最小，然后根據等腰直角三角形的性質計算出BC即可；

（3）設的坐標為，作MN∥y軸，交直線BC與點N，則的坐標為，表示出MN的長，進而表示出的面積，然后根據二次函數的性質解答即可.

解：（1）∵是等腰直角三角形，且其腰長為3，

即，

∴，，

把，分別代入得，

解得，

∴拋物線解析式為；

（2）連接交直線于，如圖，則，

∵，

∴此時的值最小，而，

∴的最小值為.

（3）設的坐標為，作MN∥y軸，交直線BC與點N，

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把，分別代入，得

，

∴ ，

∴y=-x+3，

∴的坐標為，

∴，

∴

=，

∴時，的面積最大為，

∴.

∴的坐標為.