Question

【題目】如圖，若b是正數，直線l：y=b與y軸交于點A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；

（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；

（3）設x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數，求點（x0，0）與點D間的距離；

（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時“美點”的個數．

Answer 1

【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）當b=2019時“美點”的個數為4040個，b=2019.5時“美點”的個數為1010個．

【解析】

（1）求出A、B 的坐標，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對稱軸與a的交點即可；

（2）通過配方，求出L的頂點坐標，由于點C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結論；

（3）由題意得y1+y2=2y3，進而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點為D的坐標，即可得出結論；

（4）①當b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點”總計4040個點，②當b=2019.5時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，“美點”共有1010個．

（1）當x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．

∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對稱軸x=2，當x=2時，y=x﹣4=﹣2，∴L的對稱軸與a的交點為（2，﹣2 ）；

（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點C（，）．

∵點C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點C與l距離的最大值為1；

（3）∵y3是y1，y2的平均數，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．

∵x0≠0，∴x0=b，對于L，當y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．

∵b＞0，∴右交點D（b，0），∴點（x0，0）與點D間的距離b﹣（b）．

（4）①當b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．

聯立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個整數x的值都對應的一個整數y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個整數；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個整數點，∴總計4042個點．

∵這兩段圖象交點有2個點重復，∴美點”的個數：4042﹣2=4040（個）；

②當b=2019.5時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，聯立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴當x取整數時，在一次函數y=x﹣2019.5上，y取不到整數值，因此在該圖象上“美點”為0，在二次函數y=x2+2019.5x圖象上，當x為偶數時，函數值y可取整數，可知﹣1到2019.5之 間有1010個偶數，因此“美點”共有1010個．

故b=2019時“美點”的個數為4040個，b=2019.5時“美點”的個數為1010個．