Question

【題目】如圖，直線y=-2x+6與x軸交于點A，與直線y=x交于點B.

(1)點A坐標為_____________.

(2)動點M從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿著O→A的路線向終點A勻速運動，過點M作MP⊥x軸交直線y=x于點P，然后以MP為直角邊向右作等腰直角△MPN.設運動t秒時，ΔMPN與ΔOAB重疊部分的面積為S.求S與t之間的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)(3，0)；(2)

【解析】

（1）將y=0代入y=-2x+6可得x=3，即可得出點A坐標；

（2）分點N在直線AB左側時，點N在直線AB右側且P在直線AB左側時，以及點P在直線AB右側三種情況討論，利用數形結合的思想，根據重疊部分的形狀，分別用含t的式子表示出三角形的底邊和高，從而得到重疊部分的面積.

(1) 將y=0代入y=-2x+6可得x=3，

所以點A坐標為（3，0）

故答案為：（3，0）

(2)如圖一，

由得

∴B(2，2)

過點B作BH⊥x軸于點H

∴BH=OH=2，∠AOB=45°

∵PM⊥x軸

∴OM=MP=t

∵等腰直角ΔMPN

∴PN∥x軸

∴∠N=∠NMA=45°

∴∠AOB=∠NMA=45°

∴MN∥OB

∴設直線MN為y=x+b

∵OM=t

∴y=x-t

當點N在直線y=-2x+6上時，OM=PM=PN=t,

∴N(2t,t)

∴t=-2×2t+6，解得：t=

∴當時，

如圖二，當點P在直線y=-2x+6上時，OM=PM=t,

可得t=-2t+6，解得：t=2

當時，PN與AB交于點E，MN與AB交于點F，

∵P(t，t)

∴t=-2x+6

∴

∴

∴

∴

∵OA=3

∴MA=3-t

由

得F(2+t，2-t)

過點F作△ENF的高GF, △FMA的高HF

∴HF=2-t

∴

∴

∴；

如圖三，當M與A重合時，t=3

故當時,PM與AB交于點E，MN與AB交于點F，有E(t, -2t+6)，F(2+t，2-t)，

∴,

∴;

綜上所述，.