Question

【題目】已知，在中，弦，連接、；

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，在線段上取點，連接并延長交于點，交于點，，連接、、，，求的正切值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，交于點，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠BCF=；（3）

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠B=∠D，然后根據圓的基本性質可得，然后根據等式的基本性質即可證出，最后根據圓的基本性質即可求出結論；

（2）過點K作KH⊥CD交CD的延長線于H，連接KD，根據等弧所對的圓周角相等可證∠BCF=∠DCK,從而得出tan∠BCF=tan∠DCK，設CK=5a，則DK=a，然后根據圓內接四邊形的性質、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數和勾股定理即可求出tan∠DCK，從而求出結論；

（3）在（2）的圖上延長FK和CH，交于點M，用含a的式子求出CK、BF和KH，然后證出△CKM∽△CBF，最后列出比例式即可求出結論．

解：（1）∵

∴∠B=∠D

∴

∴

∴

∴；

（2）過點K作KH⊥CD交CD的延長線于H，連接KD，

∵

∴，∠KFC=∠BEF=45°

∴BF=DK，∠BCF=∠DCK

∴tan∠BCF=tan∠DCK

∵，∠HDK為圓內接四邊形CDKF的外角

∴，∠HDK=∠KFC=45°

∴△DKH為等腰直角三角形

設CK=5a，則DK=a，

∴DH=HK=DK·sin∠HDK=3a

在Rt△CKH中，CH=a

∴tan∠DCK=

∴tan∠BCF=

（3）在（2）的圖上延長FK和CH，交于點M

由（2）知：CK=5a，DH=HK=3a， BF=DK=a，∠BCF=∠DCK

∵CD∥AB，FK∥BD

∴四邊形GBDM為平行四邊形

∴BG=DM

∵=5a

∴DM=5a

∴MH=DM－DH=2a

在Rt△MKH中，KM=

∵∠CKM為圓內接四邊形FBCK的外角

∴∠CKM=∠CBF

∴△CKM∽△CBF

∴

即

解得：a=

∴CK=5×=