Question

【題目】在等邊中，點為上一點，連接，直線與分別相交于點，且．

（1）如圖（1），寫出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中的一對給予證明；

（2）若直線向右平移到圖（2）、圖（3）的位置時，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立?若成立請寫出來(不證明)，若不成立，請說明理由；

（3）探究:如圖（1），當滿足什么條件時(其他條件不變)，?請寫出探究結果，并說明理由(說明:結論中不得含有未標識的字母)．

Answer 1

【答案】（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）當BD平分∠ABC時，PF=PE．

【解析】

（1）由兩角對應相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，這兩組三角形都可由一個公共角和一組60°角來證明；

（2）成立，證法同（1）；

（3）先看PF=PE能得出什么結論，根據△BPF∽△EBF，可得BF2=PFPE=3PF2，因此，因為，可得∠PFB=90°，則∠PBF=30°，由此可得當BD平分∠ABC時，PF=PE．

解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵∠BPF=60°

∴∠BPF=∠EBF=60°，

∵∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD；

（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：

如圖（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD．

如圖（3），同理可證△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；

（3）當BD平分∠ABC時，PF=PE，

理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．

∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．

∴PF=PB

又∵∠BEF=60°30°=30°=∠ABP，

∴PB=PE．

∴PF=PE．