Question

【題目】問題：如圖1，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α．如何用直尺和圓規作出點P，均使得∠APB＝α？（不需解答）

嘗試：如圖2，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．

（1）請用直角三角尺（僅可畫直角或直線）在圖2中畫出一個點P，使得∠APB＝45°

（2）如圖3，若AC＝BC＝，以點A為原點，直線AB為x軸，過點A垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系，直線y＝（b≥0）交x軸于點M，交y軸與點N．

①當b＝7+時，請僅用圓規在射線MN上作出點P，使得∠APB＝45°；

②請直接寫出射線MN上使得∠APB＝45°或∠APB＝135°時點P的個數及相應的b的取值范圍；

③應用：如圖4，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α，請用直尺和圓規作出點P，使得∠APB＝α，且AP+BP最大，請簡要說明理由．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②當0≤b≤2或b＝3+3時，滿足條件的點P只有一個；當2＜b＜3+3時，滿足條件的點P有兩個；當b＞3+3時，滿足條件的點P為0個；③見解析；

【解析】

（1）以C為圓心CA為半徑作⊙C，在優弧AB上任意取一點P，連接PA，PB，點P即為所求．

（2）①如圖3中，過點C作CE∥MN，交OM于E，作EF⊥MN于F．以C為圓心，CA為半徑作⊙C，通過計算說明⊙C與MN有兩個交點P1，P2，P1，P2即為所求．

②如圖3﹣1中，當⊙C與直線MN與⊙C相切于點P時，作PH⊥OM于H，CF⊥OM于F，CE⊥PH于E．求出相切時b的值以及直線MN經過點B時b的值即可判斷．

應用：如圖4中，作△ABC的外接圓，AB的垂直平分線交△ABC的外接圓于M．點M（即點P）即為所求．

解：（1）如圖2中，點P即為所求．

（2）①如圖3中，過點C作CE∥MN，交OM于E，作EF⊥MN于F．

∵AC＝CB＝，∠ACB＝90°，

∴OB＝ OC＝2，可得C（，），

∵CE∥MN，直線MN的解析式為y＝﹣x+（7+），

∴直線CE的解析式為y＝﹣x++1，

∴E（3+，0），由題意M（7+，0），

∴EM＝4，

∵EF⊥MN，∠EMF＝30°，

∴EF＝2，

以C為圓心，CA為半徑作⊙C，

∵2＜，

∴⊙C與MN有兩個交點P1，P2，連接OP1，BP1，OP2，BP2，

∴∠AP1B＝∠ACB＝45°，∠AP2B＝∠ACB＝45°，

∴P1，P2即為所求．

②如圖3﹣1中，當⊙C與直線MN與⊙C相切于點P時，作PH⊥OM于H，CF⊥OM于F，CE⊥PH于E．

在Rt△PCE中，∵∠PEC＝90°，∠CPE＝30°，PC＝，

∴CE＝PC＝，PE＝CE＝，

∵四邊形CFHE是矩形，

∴FH＝CE＝，CF＝EH＝，

∴PH＝PE+EH＝+，

在Rt△PHM中，∵∠PHM＝90°，∠PMH＝30°，

∴MH＝PH＝3+，

∴OM＝OF+FH+HM＝++3+＝3+3，

∴b＝3+3，

當直線MN經過點B時，b＝2，

觀察圖象可知：當0≤b≤2或b＝3+3時，滿足條件的點P只有一個．

當2＜b＜3+3時，滿足條件的點P有兩個．

當b＞3+3時，滿足條件的點P為0個．

應用：如圖4中，作△ABC的外接圓，AB的垂直平分線交△ABC的外接圓于M．

在劣弧AB上任意取一點P′，連接P′A，P′B，則∠AP′B＝∠ACB＝α，

當點P′與M重合時，PA+PB的值最大，

如圖，點P即為所求．