Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax2+bx與直線y=﹣x+4交于另一點B，且點B的橫坐標為1．

（1）求a，b的值；
（2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設PF的長為t，MN的長為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當S△ACN=S△PMN時，連接ON，點Q在線段BP上，過點Q作QR∥MN交ON于點R，連接MQ、BR，當∠MQR﹣∠BRN=45°時，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=﹣x+4與x軸交于點A，

∴A（4，0），

∵點B的橫坐標為1，且直線y=﹣x+4經過點B，

∴B（1，3），

∵拋物線y=ax2+bx經過A（4，0），B（1，3），

∴ ，

解得： ，

∴a=﹣1，b=4；

（2）解：方法一：

如圖，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，

∵B（1，3），A（4，0），

∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，

∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC，

∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠PFM=∠ECM=90°，

∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，

∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠MPF，

∴ = =3，

∴MF=3PF=3t，

∵MN=MF+FN，

∴d=3t+t=4t；

方法二：

延長MP交x軸于點M′，作M′N′∥MN交AB于N′，

延長FP交M′N′于F′，∵M′N′∥MN，∴△PMN∽△PM′N′，

∴ ，∵O（0，0），B（1，3），

∴KOB=3，

∵PM∥OB，

∴KPM=KOB=3，則lPM：y=3x+b，設P（p，﹣p+4），則b=4﹣4p，

∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x= ，

∴M′（ ，0），

∵N′x=M′x，把x= 代入y=﹣x+4，

∴y= ，

∴N′（ ， ），∴M′N′= ，

∵PF′⊥M′N′，

∴PF′=p﹣ = ，

∴ ．

（3）解：方法一：

如備用圖，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S△PMN= MN×PF= ×4t×t=2t2，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S△ACN= AC2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ AC2=2t2，

∴AC=2t，

∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x，

將M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：

﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，

解得：t1=0（舍），t2= ，

∴PF=NF= ，AC=CN=1，OC=3，MF= ，PN= ，PM= ，AN= ，

∵AB=3 ，

∴BN=2 ，

作NH⊥RQ于點H，

∵QR∥MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，

∴∠MNH=∠NCO，

∴NH∥OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴ = = ，

設RH=n，則HN=3n，

∴RN= n，QN=3 n，

∴PQ=QN﹣PN=3 n﹣ ，

∵ON= = ，

OB= = ，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM∥OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴ = ，

∴ = ，

解得：n= ，

∴R的橫坐標為：3﹣ = ，R的縱坐標為：1﹣ = ，

∴R（ ， ）．

方法二：

設M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），

∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，

∴PF= （﹣t2+5t﹣4），

∴S△PMN= （﹣t2+5t﹣4）2= （t﹣4）2（t﹣1）2，

∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，

∴CA=CN=4﹣t，

∴S△ACN= （t﹣4）2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ （t﹣4）2（t﹣1）2= （t﹣4）2，

∴t1=﹣1，（舍），t2=3，

∴M（3，3），

∵MX=NX=3，

∴N（3，1），

∴ON= ，

∵B（1，3），

∴OB= ，

∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，

∵OB∥MP

∴∠OBN=∠QPM，

∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△BRN∽△MQP，

∴ ，

∵KPM=3，M（3，3），

∴lPM：y=3x﹣6，

∵lAB：y=﹣x+4，

∴P（2.5，1.5），

設R（3t，t），

∴Q（3t，﹣3t+4），

∴ ，

∴t1= ，t2= （舍），

∴R（ ， ）．

【解析】先由直線解析式求出A、B坐標，代入拋物線解析式，可求出a、b；（2）利用平行線的性質可推出∠MPF=∠BOD，tan∠BOD=tan∠MPF，用t的代數式表示線段，代入正切定義式中，得出關系式；（3）由已知∠MQR﹣∠BRN=45°，結合平行性質，可得∠BRN=∠MQP，進而證出△BRN∽△MQP，對應邊成比例，可列出關于t的方程，求出R坐標.