Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y=ax²+bx過A、C兩點．
（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）動點P從點A出發．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．
①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．當t為何值時，線段EG最長？
②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形？請直接寫出相應的t值．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD為矩形，所以A點與D點縱坐標相同，A點與B點橫坐標相同；
（2）①根據相似三角形的性質求出點E的橫坐標表達式即為點G的橫作標表達式．代入二次函數解析式，求出縱標表達式，將線段最值問題轉化為二次函數最值問題解答．
②若構成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若有兩種情況時間相同，則三邊長度相同，為等腰三角形．

解答：解：（1）因為點B的橫坐標為4，點D的縱坐標為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點A的坐標為（4，8）．
將A（4，8）、C（8，0）兩點坐標分別代入y=ax²+bx得

16a+4b=8 64a+8b=0

，
解得a=-

1

2

，b=4．
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=

PE

AP

=

BC

AB

，即

PE

AP

=

4

8

．
∴PE=

1

2

AP=

1

2

t．PB=8-t．
∴點E的坐標為（4+

1

2

t，8-t）．
∴點G的縱坐標為：-

1

2

（4+

1

2

t）²+4（4+

1

2

t）=-

1

8

t²+8．
∴EG=-

1

8

t²+8-（8-t）=-

1

8

t²+t．
∵-

1

8

＜0，∴當t=4時，線段EG最長為2．
②共有三個時刻．
（①）當EQ=QC時，
因為Q（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），QC=t，
所以根據兩點間距離公式，得：
（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=

40

13

或t=

104

13

=8（此時E、C重合，不能構成三角形，舍去）．
（②）當EC=CQ時，
因為E（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根據兩點間距離公式，得：
（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16

5

，t=40+16

5

＞8（此時Q不在矩形的邊上，舍去）．
（③）當EQ=EC時，
因為Q（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），
所以根據兩點間距離公式，得：（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此時Q、C重合，不能構成三角形，舍去）或t=

16

3

．
于是t₁=

16

3

，t₂=

40

13

，t₃=40-16

5

．

點評：拋物線的求法是函數解析式中的一種，通常情況下用待定系數法，即先列方程組，再求未知系數，這種方法本題比較適合．對于壓軸題中的動點問題、極值問題，先根據條件“以靜制動”，用未知系數表示各自的坐標，如果能構成二次函數，即可通過配方或頂點坐標公式求其極值．