Question

如圖，在矩形OABC中，已知A，C兩點的坐標分別為A（4，0），C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，求P的坐標；
（3）已知E（1，-1），當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長．

Answer 1

分析：（1）由A（4，0），C（0，2），D為OA的中點，得到D點坐標為（2，0），則OC=OD，而點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合），根據角平分線的性質有
∠COP=∠DOP=45°，再根據三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD，則PC=PD；
（2）過B作BP垂直∠AOC的平分線于P點，過P點作PN⊥x軸于N，交BC于M點，OP交BC于H點，易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，△PHB是也等腰直角三角形，得到PM垂直平分BH，而CH=CO=2，則BH=2，得到PM=

1

2

BH=1，于是有ON=PN=1+2=3，根據坐標的表示方法即可得到P點坐標；
（3）連CE交∠AOC的平分線于P點，連PD、CD，ED，由OC=OD，OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD，則PC=PD，得到PD+PE=PC+PE=CE，根據兩點之間線段確定此時△PDE的周長最小，然后利用待定系數法求出直線CE的解析式為y=-3x+2，根據P點的橫縱坐標相等即可得到P點坐標為（

1

2

，

1

2

），再利用勾股定理分別計算出CE=

32+12

=

10

，DE=

12+12

=

2

，即可得到此時△PDE的周長．

解答：（1）證明：∵A（4，0），C（0，2），D為OA的中點，
∴D點坐標為（2，0），
∴OC=OD，
又∵點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合），
∴∠COP=∠DOP=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD，
即無論點P運動到何處，PC總與PD相等；

（2）解：過B作BP垂直∠AOC的平分線于P點，過P點作PN⊥x軸于N，交BC于M點，OP交BC于H點，如圖，
∵OP平分∠AOC，
∴∠COP=∠NOP=45°，
∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，
∴△PHB是等腰直角三角形，
∴PM垂直平分BH，
∴CH=CO=2，
∴BH=4-2=2，
∴PM=

1

2

BH=1，
∴ON=PN=1+2=3，
∴P點坐標為（3，3）；

（3）解：連CE交∠AOC的平分線于P點，連PD、CD，ED，如圖，
∵OC=OD，OP平分直角AOC，
∴OP垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴PD+PE=PC+PE=CE，
此時△PDE的周長最小，
設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），
把C（0，2）、E（1，-1）分別代入得，b=2，k+b=-1，解得k=-3，b=2，
∴直線CE的解析式為y=-3x+2，
而P點的橫縱坐標相等，設P（a，a），把P點坐標代入y=-3x+2得，a=-3a+2，解得a=

1

2

，
∴P點坐標為（

1

2

，

1

2

），
∵CE=

32+12

=

10

，DE=

12+12

=

2

，
∴此時△PDE的周長=

2

+

10

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉化為一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題．也考查了垂線段最短、勾股定理、矩形的性質和坐標變換以及待定系數法求一次函數的解析式．