Question

【題目】如果兩個二次函數的圖象關于y軸對稱，我們就稱這兩個二次函數互為“關于y軸對稱二次函數”，如圖所示二次函數y1 = x2 + 2x + 2與y2 = x2 - 2x + 2是“關于y軸對稱二次函數”．

（1）二次函數y = 2（x + 2）2 + 1的“關于y軸對稱二次函數”解析式為 ；二次函數y = a（x - h）2 + k的“關于y軸對稱二次函數”解析式為 ；

（2）如備用圖，平面直角坐標系中，記“關于y軸對稱二次函數”的圖象與y軸的交點為A，它們的兩個頂點分別為B，C，且BC=6，順次連接點A，B，O，C得到一個面積為24的菱形，求“關于y軸對稱二次函數”的函數表達式．

（3）在第（2）題的情況下，如果M是兩個拋物線上的一點，以點A，O，C，M為頂點能否構成梯形. 若能，求出此時M坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）

【解析】

（1）根據“關于y軸對稱二次函數”的定義即可求解；

（2）根據“關于y軸對稱二次函數”，菱形的面積，可得頂點坐標，圖象與y軸的交點，根據待定系數法，可得答案；

（3）根據題意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分別聯立函數求解即可.

（1）二次函數y = 2（x + 2）2 + 1的“關于y軸對稱二次函數”解析式為y = 2（x - 2）2 + 1；二次函數y = a（x - h）2 + k的“關于y軸對稱二次函數”解析式為y = a（x + h）2 + k，

故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；

（2）由BC=6，順次連接點A，B，O，C得到一個面積為24的菱形，由菱形面積公式得OA=8，

∴A點坐標為（0，8），

∵菱形ABOC

∴ - xB = xC yB = yA

∴B點的坐標為（-3，4），

設一個拋物線的解析式為y=a（x+3）2+4，將A點坐標代入，得9a+4=8，

解得a=，

∴y=（x+3）2+4關于y軸對稱二次函數的函數表達式y=（x-3）2+4．

（3）①若AO∥CM，則xM = xC = 3，

把xM = 3代入上述兩個拋物線解析式，解得y1 = 20， y2 = 4

∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，

∴M1（3,20）

②若AC∥OM，

∵lAC：，∴lOM：

與拋物線聯立方程或

或無解

∵B（-3,4），∴舍去，

∴M2（-6,8）

③若OC∥AM

∵lOC：，∴lAM：

同②解得

∵A（0，8）

∴M3（9,20）

綜上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）